AtCoder ABC 139D ModSum

問題

正の整数Nが与えられる。
{1,2,3,….N}に関する順列Pについて、Σ i mod Pi (i=1 to N)の最大値を求める。

方針

少ない値について全探索によって答えを出してみる→具体的には10までを全探索する。
その答えについてトレンドを見る。
トレンドを説明してみる。

シミュレーション

N=10
ans=tmp=0
mod=[]

import itertools
# 

for n in range(1,N+1):
    l=[i for i in range(1,n+1)]
    p=list(itertools.permutations(l))
    ans=tmp=0
    for i in p:
        tmp=0
        cnt=1
        for j in i:
            # print(j,cnt, cnt%j)
            tmp+=cnt%j
            cnt+=1
        if ans==tmp:
            mod.append(i)
        elif ans<tmp:
            mod=[]
            mod.append(i)
            ans=tmp
    print(ans, mod)

結果

0 [(1,)]
1 [(2, 1)]
3 [(1, 3, 2), (2, 3, 1)]
6 [(2, 3, 4, 1)]
10 [(1, 3, 4, 5, 2), (2, 1, 4, 5, 3), (2, 3, 4, 5, 1)]
15 [(2, 3, 4, 5, 6, 1)]
21 [(1, 3, 2, 5, 6, 7, 4), (1, 3, 4, 5, 6, 7, 2), (2, 3, 1, 5, 6, 7, 4), (2, 3, 4, 5, 6, 7, 1)]
28 [(2, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 3), (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1)]
36 [(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2), (2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, 9, 5), (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1)]
45 [(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1)]

シミュレーション結果

数列P={2,3,4…N,1}の時に最大になっていることがわかる。

考察

i=1,2,…,Nを割った時に余りの最大値は割られる数をそのまま利用できた時であるから、{1,2,…N-1,N}となることがわかる。

このような結果にするにはiに対してi+1で割ってあげればよい。

しかし最後のNについてはN+1はないので1を利用する。よって余りの最大値の数列は{1,2,…,N-1,0}である。この合計値はN*(N-1)/2となる。